fox hunting trilateration

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.15.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20scipy.optimize%20import%20fsolve%0A%20%20%20%20import%20math%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Fox%20Hunting%3A%20Radio%20Transmitter%20Location%20using%20Time%20Delay%20of%20Arrival%20(TDOA)%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20explains%20the%20mathematical%20principles%20behind%20locating%20a%20radio%20transmitter%20%0A%20%20%20%20(the%20%22fox%22)%20using%20time%20delay%20of%20arrival%20measurements%20from%20three%20receivers.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%20fsolve%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Theory%3A%20Time%20Delay%20of%20Arrival%20(TDOA)%0A%0A%20%20%20%20When%20a%20radio%20transmitter%20broadcasts%20a%20signal%2C%20it%20reaches%20different%20receivers%20at%20different%20times%0A%20%20%20%20based%20on%20the%20distance%20to%20each%20receiver.%20By%20measuring%20these%20time%20delays%2C%20we%20can%20calculate%0A%20%20%20%20the%20transmitter's%20location%20using%20trilateration.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Key%20Concepts%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Signal%20propagation**%3A%20Radio%20waves%20travel%20at%20the%20speed%20of%20light%20(c%20%E2%89%88%203%C3%9710%E2%81%B8%20m%2Fs)%0A%20%20%20%202.%20**Time%20delay**%3A%20If%20a%20signal%20takes%20time%20%60t%60%20to%20reach%20a%20receiver%2C%20the%20distance%20is%20%60d%20%3D%20c%20%C3%97%20t%60%0A%20%20%20%203.%20**Differential%20time**%3A%20We%20measure%20time%20differences%20between%20receivers%2C%20not%20absolute%20times%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20Mathematics%3A%0A%0A%20%20%20%20Given%20three%20receivers%20at%20positions%20(x%E2%82%81%2Cy%E2%82%81)%2C%20(x%E2%82%82%2Cy%E2%82%82)%2C%20(x%E2%82%83%2Cy%E2%82%83)%20and%20a%20transmitter%20at%20(x%2Cy)%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20Distance%20from%20transmitter%20to%20receiver%20i%3A%20%60d%E1%B5%A2%20%3D%20%E2%88%9A%5B(x-x%E1%B5%A2)%C2%B2%20%2B%20(y-y%E1%B5%A2)%C2%B2%5D%60%0A%20%20%20%20-%20Time%20for%20signal%20to%20reach%20receiver%20i%3A%20%60t%E1%B5%A2%20%3D%20d%E1%B5%A2%2Fc%60%0A%20%20%20%20-%20Time%20difference%20between%20receivers%201%20and%202%3A%20%60%CE%94t%E2%82%81%E2%82%82%20%3D%20t%E2%82%82%20-%20t%E2%82%81%60%0A%20%20%20%20-%20Distance%20difference%3A%20%60%CE%94d%E2%82%81%E2%82%82%20%3D%20c%20%C3%97%20%CE%94t%E2%82%81%E2%82%82%20%3D%20d%E2%82%82%20-%20d%E2%82%81%60%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Hyperbolic%20Navigation%0A%0A%20%20%20%20The%20key%20insight%20is%20that%20a%20constant%20time%20difference%20between%20two%20receivers%20defines%20a%20**hyperbola**.%0A%0A%20%20%20%20If%20%60%CE%94t%E2%82%81%E2%82%82%20%3D%20constant%60%2C%20then%20%60d%E2%82%82%20-%20d%E2%82%81%20%3D%20constant%60%2C%20which%20is%20the%20definition%20of%20a%20hyperbola%0A%20%20%20%20with%20foci%20at%20the%20two%20receiver%20locations.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Mathematical%20Definition%20of%20a%20Hyperbola%3A%0A%20%20%20%20A%20hyperbola%20is%20the%20set%20of%20all%20points%20where%20the%20**absolute%20difference**%20of%20distances%20to%20two%20fixed%20points%20(foci)%20is%20constant%3A%0A%0A%20%20%20%20%60%7Cd%E2%82%82%20-%20d%E2%82%81%7C%20%3D%20constant%60%0A%0A%20%20%20%20For%20TDOA%3A%0A%20%20%20%20-%20**Foci**%3A%20Two%20receiver%20positions%0A%20%20%20%20-%20**Constant**%3A%20c%20%C3%97%20%7C%CE%94t%E2%82%81%E2%82%82%7C%20(distance%20difference)%0A%20%20%20%20-%20**Hyperbola%20branches**%3A%20Positive%20and%20negative%20time%20differences%20create%20different%20branches%0A%0A%20%20%20%20With%20three%20receivers%2C%20we%20get%20two%20independent%20time%20differences%3A%0A%20%20%20%20-%20%60%CE%94t%E2%82%81%E2%82%82%20%3D%20t%E2%82%82%20-%20t%E2%82%81%60%20%E2%86%92%20Hyperbola%201%20(foci%20at%20R1%2C%20R2)%0A%20%20%20%20-%20%60%CE%94t%E2%82%81%E2%82%83%20%3D%20t%E2%82%83%20-%20t%E2%82%81%60%20%E2%86%92%20Hyperbola%202%20(foci%20at%20R1%2C%20R3)%0A%0A%20%20%20%20The%20transmitter%20location%20is%20at%20the%20**intersection**%20of%20these%20two%20hyperbolas.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Implementation%3A%20Solving%20the%20System%20of%20Equations%0A%0A%20%20%20%20We%20need%20to%20solve%20this%20system%20of%20nonlinear%20equations%3A%0A%0A%20%20%20%20%60%60%60%0A%20%20%20%20%E2%88%9A%5B(x-x%E2%82%82)%C2%B2%20%2B%20(y-y%E2%82%82)%C2%B2%5D%20-%20%E2%88%9A%5B(x-x%E2%82%81)%C2%B2%20%2B%20(y-y%E2%82%81)%C2%B2%5D%20%3D%20c%20%C3%97%20%CE%94t%E2%82%81%E2%82%82%0A%20%20%20%20%E2%88%9A%5B(x-x%E2%82%83)%C2%B2%20%2B%20(y-y%E2%82%83)%C2%B2%5D%20-%20%E2%88%9A%5B(x-x%E2%82%81)%C2%B2%20%2B%20(y-y%E2%82%81)%C2%B2%5D%20%3D%20c%20%C3%97%20%CE%94t%E2%82%81%E2%82%83%0A%20%20%20%20%60%60%60%0A%0A%20%20%20%20Let's%20implement%20this%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(fsolve%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20def%20generate_hyperbola_points(focus1%2C%20focus2%2C%20distance_diff%2C%20xlim%3D(-500%2C%20800)%2C%20ylim%3D(-300%2C%20600)%2C%20num_points%3D1000)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Generate%20points%20on%20a%20hyperbola%20defined%20by%20two%20foci%20and%20constant%20distance%20difference%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Uses%20a%20grid-based%20approach%20for%20better%20visualization%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20focus1%2C%20focus2%3A%20(x%2C%20y)%20tuples%20for%20the%20two%20foci%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20distance_diff%3A%20signed%20distance%20difference%20d2%20-%20d1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20xlim%2C%20ylim%3A%20plot%20boundaries%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20num_points%3A%20grid%20resolution%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20x_points%2C%20y_points%3A%20arrays%20of%20hyperbola%20coordinates%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(distance_diff)%20%3C%201e-10%3A%20%20%23%20Avoid%20division%20by%20zero%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.array(%5B%5D)%2C%20np.array(%5B%5D)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x1%2C%20y1%20%3D%20focus1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x2%2C%20y2%20%3D%20focus2%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Create%20a%20grid%20of%20test%20points%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_test%20%3D%20np.linspace(xlim%5B0%5D%2C%20xlim%5B1%5D%2C%20int(np.sqrt(num_points)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_test%20%3D%20np.linspace(ylim%5B0%5D%2C%20ylim%5B1%5D%2C%20int(np.sqrt(num_points)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X%2C%20Y%20%3D%20np.meshgrid(x_test%2C%20y_test)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Calculate%20distances%20to%20each%20focus%0A%20%20%20%20%20%20%20%20d1%20%3D%20np.sqrt((X%20-%20x1)**2%20%2B%20(Y%20-%20y1)**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20d2%20%3D%20np.sqrt((X%20-%20x2)**2%20%2B%20(Y%20-%20y2)**2)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Find%20points%20where%20d2%20-%20d1%20%E2%89%88%20distance_diff%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diff%20%3D%20d2%20-%20d1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tolerance%20%3D%20abs(distance_diff)%20*%200.02%20%2B%205%20%20%23%20Adaptive%20tolerance%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mask%20%3D%20np.abs(diff%20-%20distance_diff)%20%3C%20tolerance%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.any(mask)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.array(%5B%5D)%2C%20np.array(%5B%5D)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20X%5Bmask%5D%2C%20Y%5Bmask%5D%0A%0A%20%20%20%20def%20trilaterate_tdoa(receivers%2C%20time_delays%2C%20c%3D3e8)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Locate%20transmitter%20using%20TDOA%20trilateration%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20receivers%3A%20list%20of%20(x%2C%20y)%20tuples%20for%20receiver%20positions%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20time_delays%3A%20list%20of%20time%20delays%20%5Bdt12%2C%20dt13%5D%20where%20dt_ij%20%3D%20t_j%20-%20t_i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20c%3A%20speed%20of%20light%20in%20m%2Fs%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20(x%2C%20y)%20estimated%20transmitter%20position%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(x1%2C%20y1)%2C%20(x2%2C%20y2)%2C%20(x3%2C%20y3)%20%3D%20receivers%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dt12%2C%20dt13%20%3D%20time_delays%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20equations(pos)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%2C%20y%20%3D%20pos%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Distances%20to%20each%20receiver%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20d1%20%3D%20np.sqrt((x%20-%20x1)**2%20%2B%20(y%20-%20y1)**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20d2%20%3D%20np.sqrt((x%20-%20x2)**2%20%2B%20(y%20-%20y2)**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20d3%20%3D%20np.sqrt((x%20-%20x3)**2%20%2B%20(y%20-%20y3)**2)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20TDOA%20equations%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20eq1%20%3D%20d2%20-%20d1%20-%20c%20*%20dt12%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20eq2%20%3D%20d3%20-%20d1%20-%20c%20*%20dt13%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%5Beq1%2C%20eq2%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Initial%20guess%20(center%20of%20receivers)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_guess%20%3D%20np.mean(%5Bx1%2C%20x2%2C%20x3%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_guess%20%3D%20np.mean(%5By1%2C%20y2%2C%20y3%5D)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Solve%20the%20system%0A%20%20%20%20%20%20%20%20solution%20%3D%20fsolve(equations%2C%20%5Bx_guess%2C%20y_guess%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20solution%0A%0A%20%20%20%20trilaterate_tdoa%0A%20%20%20%20return%20generate_hyperbola_points%2C%20trilaterate_tdoa%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Interactive%20Example%3A%20Fox%20Hunt%20Scenario%0A%0A%20%20%20%20Let's%20set%20up%20a%20realistic%20fox%20hunting%20scenario%20with%20three%20receivers%20positioned%20around%20%0A%20%20%20%20a%20search%20area.%20You%20can%20adjust%20the%20parameters%20to%20see%20how%20the%20calculations%20work.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Interactive%20controls%0A%20%20%20%20transmitter_x%20%3D%20mo.ui.slider(-500%2C%20500%2C%20value%3D150%2C%20step%3D10%2C%20label%3D%22Transmitter%20X%20(m)%22)%0A%20%20%20%20transmitter_y%20%3D%20mo.ui.slider(-500%2C%20500%2C%20value%3D200%2C%20step%3D10%2C%20label%3D%22Transmitter%20Y%20(m)%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Set%20Transmitter%20Position%3A%0A%20%20%20%20%7Btransmitter_x%7D%0A%20%20%20%20%7Btransmitter_y%7D%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%20transmitter_x%2C%20transmitter_y%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20generate_hyperbola_points%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20transmitter_x%2C%0A%20%20%20%20transmitter_y%2C%0A%20%20%20%20trilaterate_tdoa%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20def%20_()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Fixed%20receiver%20positions%20(triangular%20arrangement)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20receivers%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(0%2C%200)%2C%20%20%20%20%20%20%23%20Receiver%201%20at%20origin%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(400%2C%200)%2C%20%20%20%20%23%20Receiver%202%20to%20the%20east%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(200%2C%20346)%20%20%20%23%20Receiver%203%20to%20the%20north%20(forms%20equilateral%20triangle)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20True%20transmitter%20position%0A%20%20%20%20%20%20%20%20true_pos%20%3D%20(transmitter_x.value%2C%20transmitter_y.value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20c%20%3D%203e8%20%20%23%20speed%20of%20light%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Calculate%20true%20distances%20and%20time%20delays%0A%20%20%20%20%20%20%20%20distances%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20rx%2C%20ry%20in%20receivers%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dist%20%3D%20np.sqrt((true_pos%5B0%5D%20-%20rx)**2%20%2B%20(true_pos%5B1%5D%20-%20ry)**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20distances.append(dist)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Time%20delays%20relative%20to%20receiver%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20times%20%3D%20%5Bd%2Fc%20for%20d%20in%20distances%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20time_delays%20%3D%20%5Btimes%5B1%5D%20-%20times%5B0%5D%2C%20times%5B2%5D%20-%20times%5B0%5D%5D%20%20%23%20%5Bdt12%2C%20dt13%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Solve%20for%20transmitter%20position%0A%20%20%20%20%20%20%20%20estimated_pos%20%3D%20trilaterate_tdoa(receivers%2C%20time_delays%2C%20c)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Create%20visualization%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig%2C%20ax%20%3D%20plt.subplots(1%2C%201%2C%20figsize%3D(12%2C%2010))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Generate%20and%20plot%20hyperbolas%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Hyperbola%201%3A%20R1-R2%20pair%0A%20%20%20%20%20%20%20%20distance_diff_12%20%3D%20time_delays%5B0%5D%20*%20c%20%20%23%20d2%20-%20d1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_hyp1%2C%20y_hyp1%20%3D%20generate_hyperbola_points(receivers%5B0%5D%2C%20receivers%5B1%5D%2C%20distance_diff_12)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20len(x_hyp1)%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.scatter(x_hyp1%2C%20y_hyp1%2C%20c%3D'purple'%2C%20s%3D8%2C%20alpha%3D0.8%2C%20label%3D'Hyperbola%201%20(R1-R2)')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Hyperbola%202%3A%20R1-R3%20pair%0A%20%20%20%20%20%20%20%20distance_diff_13%20%3D%20time_delays%5B1%5D%20*%20c%20%20%23%20d3%20-%20d1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_hyp2%2C%20y_hyp2%20%3D%20generate_hyperbola_points(receivers%5B0%5D%2C%20receivers%5B2%5D%2C%20distance_diff_13)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20len(x_hyp2)%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.scatter(x_hyp2%2C%20y_hyp2%2C%20c%3D'orange'%2C%20s%3D8%2C%20alpha%3D0.8%2C%20label%3D'Hyperbola%202%20(R1-R3)')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Plot%20receivers%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%2C%20(rx%2C%20ry)%20in%20enumerate(receivers)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(rx%2C%20ry%2C%20'bs'%2C%20markersize%3D12%2C%20label%3Df'Receiver%20%7Bi%2B1%7D'%20if%20i%20%3D%3D%200%20else%20None)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.annotate(f'R%7Bi%2B1%7D'%2C%20(rx%2C%20ry)%2C%20xytext%3D(5%2C%205)%2C%20textcoords%3D'offset%20points'%2C%20fontsize%3D12%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Plot%20true%20transmitter%20position%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(true_pos%5B0%5D%2C%20true_pos%5B1%5D%2C%20'ro'%2C%20markersize%3D12%2C%20label%3D'True%20Transmitter'%2C%20zorder%3D5)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Plot%20estimated%20transmitter%20position%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(estimated_pos%5B0%5D%2C%20estimated_pos%5B1%5D%2C%20'r%5E'%2C%20markersize%3D12%2C%20label%3D'Estimated%20Transmitter'%2C%20zorder%3D5)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Draw%20distance%20lines%20(lighter%20to%20not%20compete%20with%20hyperbolas)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%2C%20(rx%2C%20ry)%20in%20enumerate(receivers)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(%5Btrue_pos%5B0%5D%2C%20rx%5D%2C%20%5Btrue_pos%5B1%5D%2C%20ry%5D%2C%20'g--'%2C%20alpha%3D0.3%2C%20linewidth%3D1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Label%20with%20distance%20and%20time%20(smaller%2C%20less%20prominent)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mid_x%20%3D%20(true_pos%5B0%5D%20%2B%20rx)%20%2F%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mid_y%20%3D%20(true_pos%5B1%5D%20%2B%20ry)%20%2F%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dist_text%20%3D%20f'%7Bdistances%5Bi%5D%3A.0f%7Dm%5Cn%7Btimes%5Bi%5D*1e6%3A.1f%7D%CE%BCs'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.annotate(dist_text%2C%20(mid_x%2C%20mid_y)%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'center'%2C%20fontsize%3D8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D'round%2Cpad%3D0.2'%2C%20facecolor%3D'lightyellow'%2C%20alpha%3D0.8))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_xlabel('X%20Position%20(m)'%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_ylabel('Y%20Position%20(m)'%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_title('Fox%20Hunting%3A%20TDOA%20Trilateration%20with%20Hyperbolas'%2C%20fontsize%3D14%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.legend(loc%3D'upper%20right'%2C%20fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.axis('equal')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Set%20reasonable%20axis%20limits%20to%20show%20hyperbolas%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_xlim(-200%2C%20600)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_ylim(-100%2C%20500)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Calculate%20error%0A%20%20%20%20%20%20%20%20error%20%3D%20np.sqrt((estimated_pos%5B0%5D%20-%20true_pos%5B0%5D)**2%20%2B%20(estimated_pos%5B1%5D%20-%20true_pos%5B1%5D)**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Results%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**True%20Position**%3A%20(%7Btrue_pos%5B0%5D%3A.1f%7Dm%2C%20%7Btrue_pos%5B1%5D%3A.1f%7Dm)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Estimated%20Position**%3A%20(%7Bestimated_pos%5B0%5D%3A.1f%7Dm%2C%20%7Bestimated_pos%5B1%5D%3A.1f%7Dm)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Localization%20Error**%3A%20%7Berror%3A.2f%7Dm%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Time%20Delays**%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%CE%94t%E2%82%81%E2%82%82%20(R2%20-%20R1)%3A%20%7Btime_delays%5B0%5D*1e6%3A.3f%7D%20%CE%BCs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%CE%94t%E2%82%81%E2%82%83%20(R3%20-%20R1)%3A%20%7Btime_delays%5B1%5D*1e6%3A.3f%7D%20%CE%BCs%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Distance%20Differences**%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%CE%94d%E2%82%81%E2%82%82%3A%20%7Btime_delays%5B0%5D*c%3A.2f%7Dm%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%CE%94d%E2%82%81%E2%82%83%3A%20%7Btime_delays%5B1%5D*c%3A.2f%7Dm%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Hyperbola%20Debug**%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Hyperbola%201%20points%3A%20%7Blen(x_hyp1)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Hyperbola%202%20points%3A%20%7Blen(x_hyp2)%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7Bplt.show()%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%0A%20%20%20%20_()%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Key%20Insights%20and%20Practical%20Considerations%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%201.%20**Geometric%20Dilution%20of%20Precision%20(GDOP)**%0A%20%20%20%20The%20accuracy%20of%20trilateration%20depends%20heavily%20on%20the%20geometry%20of%20the%20receivers%3A%0A%20%20%20%20-%20**Good%20geometry**%3A%20Receivers%20form%20a%20wide%20triangle%20around%20the%20target%0A%20%20%20%20-%20**Poor%20geometry**%3A%20Receivers%20are%20collinear%20or%20target%20is%20far%20outside%20the%20triangle%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%202.%20**Measurement%20Accuracy**%0A%20%20%20%20-%20Time%20measurement%20accuracy%20directly%20affects%20position%20accuracy%0A%20%20%20%20-%201%20nanosecond%20timing%20error%20%3D%20~30cm%20position%20error%0A%20%20%20%20-%20Synchronization%20between%20receivers%20is%20critical%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%203.%20**Ambiguity%20Resolution**%0A%20%20%20%20-%20Two%20hyperbolas%20can%20intersect%20at%20two%20points%0A%20%20%20%20-%20Additional%20information%20(like%20signal%20strength)%20may%20be%20needed%0A%20%20%20%20-%20Sometimes%20a%20third%20receiver%20measurement%20helps%20resolve%20ambiguity%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%204.%20**Real-World%20Challenges**%0A%20%20%20%20-%20**Multipath**%3A%20Reflections%20can%20cause%20false%20time%20delays%0A%20%20%20%20-%20**Clock%20synchronization**%3A%20Receivers%20must%20have%20synchronized%20clocks%0A%20%20%20%20-%20**Noise**%3A%20Random%20variations%20in%20time%20measurements%0A%20%20%20%20-%20**Non-line-of-sight**%3A%20Obstacles%20can%20block%20direct%20signal%20paths%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Sensitivity%20Analysis%3A%20Effect%20of%20Timing%20Errors%0A%0A%20%20%20%20Let's%20see%20how%20small%20timing%20errors%20affect%20the%20position%20estimate%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20some%20random%20timing%20errors%0A%20%20%20%20timing_error_ns%20%3D%20mo.ui.slider(0%2C%2010%2C%20value%3D1%2C%20step%3D0.1%2C%20label%3D%22Timing%20Error%20(nanoseconds)%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%7Btiming_error_ns%7D%0A%0A%20%20%20%20This%20shows%20how%20sensitive%20the%20system%20is%20to%20measurement%20errors.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%20(timing_error_ns%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20np%2C%20timing_error_ns%2C%20trilaterate_tdoa)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Demonstrate%20sensitivity%20to%20timing%20errors%0A%20%20%20%20receivers_sens%20%3D%20%5B(0%2C%200)%2C%20(400%2C%200)%2C%20(200%2C%20346)%5D%0A%20%20%20%20true_transmitter%20%3D%20(150%2C%20200)%0A%20%20%20%20c_sens%20%3D%203e8%0A%0A%20%20%20%20%23%20True%20time%20delays%0A%20%20%20%20true_distances_sens%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20rx%2C%20ry%20in%20receivers_sens%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dist%20%3D%20np.sqrt((true_transmitter%5B0%5D%20-%20rx)**2%20%2B%20(true_transmitter%5B1%5D%20-%20ry)**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20true_distances_sens.append(dist)%0A%0A%20%20%20%20true_times_sens%20%3D%20%5Bd%2Fc_sens%20for%20d%20in%20true_distances_sens%5D%0A%20%20%20%20true_delays%20%3D%20%5Btrue_times_sens%5B1%5D%20-%20true_times_sens%5B0%5D%2C%20true_times_sens%5B2%5D%20-%20true_times_sens%5B0%5D%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20timing%20errors%0A%20%20%20%20error_s%20%3D%20timing_error_ns.value%20*%201e-9%20%20%23%20convert%20ns%20to%20seconds%0A%20%20%20%20np.random.seed(42)%20%20%23%20for%20reproducible%20results%0A%20%20%20%20noisy_delays%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20true_delays%5B0%5D%20%2B%20np.random.normal(0%2C%20error_s)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20true_delays%5B1%5D%20%2B%20np.random.normal(0%2C%20error_s)%0A%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Estimate%20position%20with%20noisy%20measurements%0A%20%20%20%20noisy_pos%20%3D%20trilaterate_tdoa(receivers_sens%2C%20noisy_delays%2C%20c_sens)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Calculate%20position%20error%0A%20%20%20%20pos_error%20%3D%20np.sqrt((noisy_pos%5B0%5D%20-%20true_transmitter%5B0%5D)**2%20%2B%20(noisy_pos%5B1%5D%20-%20true_transmitter%5B1%5D)**2)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**With%20%7Btiming_error_ns.value%3A.1f%7Dns%20timing%20error%3A**%0A%0A%20%20%20%20-%20True%20position%3A%20(%7Btrue_transmitter%5B0%5D%7Dm%2C%20%7Btrue_transmitter%5B1%5D%7Dm)%0A%20%20%20%20-%20Noisy%20estimate%3A%20(%7Bnoisy_pos%5B0%5D%3A.1f%7Dm%2C%20%7Bnoisy_pos%5B1%5D%3A.1f%7Dm)%0A%20%20%20%20-%20Position%20error%3A%20%7Bpos_error%3A.1f%7Dm%0A%0A%20%20%20%20**Rule%20of%20thumb**%3A%201ns%20timing%20error%20%E2%89%88%2030cm%20position%20error%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Applications%20Beyond%20Fox%20Hunting%0A%0A%20%20%20%20This%20same%20TDOA%20trilateration%20technique%20is%20used%20in%20many%20applications%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**GPS%20Systems**%3A%20Satellites%20provide%20timing%20references%20for%20position%20calculation%0A%20%20%20%202.%20**Cellular%20Networks**%3A%20Emergency%20services%20use%20cell%20tower%20timing%20for%20E911%20location%0A%20%20%20%203.%20**Lightning%20Detection**%3A%20Weather%20services%20locate%20lightning%20strikes%20using%20radio%20pulses%0A%20%20%20%204.%20**Seismic%20Monitoring**%3A%20Earthquake%20epicenters%20are%20located%20using%20P-wave%20arrival%20times%0A%20%20%20%205.%20**Military%2FSecurity**%3A%20Passive%20location%20of%20radio%20emitters%0A%20%20%20%206.%20**Wildlife%20Tracking**%3A%20Locating%20animals%20with%20radio%20collars%0A%0A%20%20%20%20The%20mathematical%20principles%20remain%20the%20same%20across%20all%20these%20applications!%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A